Динамические модели в биологии

Детализация возрастной структуры популяций приводит к классу матричных моделей, впервые предложенных Лесли (1945, 1948). Предполагается, что популяция содержит n возрастных групп, из которых группы с номерами k, k+1 ,..., k+p производят потомство. Размножение происходит в определенные моменты времени: t₁, t₂, ..., t_n Тогда в начальный момент времени t₀ популяция характеризуется вектор-столбцом

(18)

Вектор X(t₁), характеризующий популяцию в следующий момент времени, например, через год, связан с вектором X(t₀) через матрицу перехода L следующим образом:

(19)

Поясним смысл стоящего справа вектора. Потомство, которое появилось за единицу времени от всех репродуктивных групп, поступает в группу 1.

(20)

Вторая компонента получается с учетом перехода особей, находившихся в момент t₀ в первой группе, во вторую и возможной гибели части из этих особей:

Аналогично получаются третья и все остальные компоненты. Все особи, находившиеся в момент t₀ в последней возрастной группе к моменту t₁ погибнут. Поэтому последняя компонента вектора X(t₁) составляется лишь из тех особей, которые перешли из предыдущей возрастной группы.

Kоэффициенты: a - коэффициент рождаемости, b - коэффициент выживания. В моделях Лесли они полагались постоянными, в более сложных моделях могут быть представлены более сложными функциями, зависящими от времени, концентрации субстрата, размеров самой популяции. Вектор X(t₁) получается умножением вектора X(t₀) на матрицу:

(22)

По диагонали матрицы стоят нули, под диагональными элементами - коэффициенты выживания b, на первой строке стоят члены, характеризующие число особей, родившихся от соответствующих групп. Все остальные элементы матрицы равны нулю. Таким образом, зная структуру матрицы L и начальное состояние популяции (вектор-столбец X(t₀), можно прогнозировать состояние популяции в любой наперед заданный момент времени.

X (t_k) = LX(t_k-1) = L^k X (t₀) (23)

Динамические модели в биологии

Реестр моделей

Динамика популяций

Матричные модели популяций