в 
, 
, (28.1)Рассмотрим задачу аппроксимации эволюционного уравнения
в , , (28.1)
на 
, (28.2)
в 
при t = 0. (28.3)
Здесь А - линейный оператор, который, в общем случае, зависит от времени, 
, 
. Предполагается, что 
, F - вещественные гильбертовы пространства с нормами 
, элементы которых определены на 
и 
соответственно, а - линейный оператор граничного условия, 
, где G - вещественное гильбертово пространство функций с нормой 
, определенных на 
. Учитывая специфику решаемой модельной задачи, будем считать, что функции из 
, F и G зависят только от двух пространственных переменных x и y.
Осуществим построение конечномерного приближения задачи (28.1) - (28.3) конечно-разностным методом. Аппроксимацию проведем в два этапа. Сначала аппроксимируем ее в области 
по пространственным переменным. Для этого рассмотрим множество точек 
, где i и j - произвольные целые числа. Множество точек такого вида образует пространственную сетку в данный момент времени t, а сами точки являются узлами сетки. Расстояние между узлами равномерной сетки будем характеризовать числом h > 0 - шагом сетки. В случае неравномерной сетки, это расстояние оценивается двумя различными параметрами 
- шагами сетки по осям x и y соответственно. Обозначим через 
множество узлов сетки, приближающее (в каком-то смысле) множество точек области 
, а через 
- множество узлов, приближающее границу 
этой области. Функции, областью определения которых является сетка, будем называть сеточными функциями. Множество сеточных функций 
с областью определения 
обозначим 
. Каждой функции 
можно поставить в соответствие сеточную функцию 
при условии, что значения 
имеют смысл. Указанное соответствие является линейным оператором, действующим из 
в 
. Этот оператор задает проектирование функции 
на сетку. Функцию 
также можно спроектировать на сетку, положив 
. Соответствие между 
и 
будет линейным оператором, определенным на сеточных функциях. В результате приходим к эволюционному уравнению, дифференциальному по времени и разностному по пространственным переменным (в полученной дифференциально-разностной задаче в ряде случаев легко исключить решения в граничных точках области 
с помощью разностной аппроксимации граничных условий):
, (29.1)
при t = 0, (29.2)
где 
, а 
и 
- функции времени t, причем 
, 
, 
, где 
- пространства вещественных сеточных функций. В дальнейшем, где это возможно, ради упрощения индекс h в задаче будем опускать, предполагая, что мы имеем дело с разностным аналогом по пространственным переменным исходной дифференциальной задачи. Таким образом, уравнение (29.1) при заданном начальном условии (29.2) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений для компонент вектора 
.
Ради упрощения предположим пока, что оператор 
не зависит от времени. Рассмотрим простейшие варианты временной аппроксимации задачи (29.1) - (29.2). Введем в рассмотрение сетку по времени с временным шагом 
. Наиболее употребительными разностными схемами в настоящее время являются схемы первого и второго порядка аппроксимации по t. Одна из них - явная схема первого порядка аппроксимации на сетке 
, то есть на совокупности узлов 
по переменной t:
, 
, (30)
где в качестве 
принимается значение 
. Неявная схема первого порядка аппроксимации имеет вид
, 
, (31)
где 
. То, что это схемы первого порядка аппроксимации по времени, легко показать с помощью разложения по формуле Тейлора, допустив существование ограниченных производных (по времени) второго порядка от решения. Разрешая системы (30) и (31) относительно 
, получим следующие рекуррентные соотношения:
, (32.1)
, (32.2)
где Т - оператор шага (оператор перехода), S - оператор источника. Эти операторы определяются следующим образом: для явной схемы (30) 
, S = E; для неявной схемы (31) - 
, S = T. Разностные схемы типа (32.1), (32.2) для эволюционных уравнений являются двухслойными.
При решении как теоретических, так и практических задач конвекции (адвекции) – диффузии (конвекции (адвекции) – диффузии – реакции) широкое применение получила схема второго порядка аппроксимации - схема Кранка – Николсона (Марчук, 1988):
, 
, (33)
где 
. Эту схему также можно представить в форме 
с оператором шага 
и оператором источника 
.
Введем в пространствах 
нормы 
соответственно. Пусть 
есть обозначение линейного оператора, который элементу 
ставит в соответствие элемент 
так, что 
. Перепишем в общем виде исходную задачу в форме системы двух разностных уравнений, из которых одно аппроксимирует само дифференциальное уравнение в 
, а другое - граничное условие на 
:
в 
, (34.1)
на 
. (34.2)
Будем говорить, что задача (34.1), (34.2) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (28.1) - (28.3) с порядком n по пространству и с порядком p по времени, если существуют такие положительные постоянные 
, что для всех 
и 
выполняются неравенства
, (35.1)
. (35.2)
Если конечно-разностное уравнение или какое-либо более сложное выражение должно быть использовано в качестве аппроксимации производной, то требуется, прежде всего, чтобы эта аппроксимация была согласована. Это значит, что она должна приближаться к производной при стремлении шага сетки к нулю. Для того, чтобы аппроксимация производной была согласованной, она обязательно должна быть по крайней мере первого порядка точности. Таким образом, эволюционное уравнение, с учетом граничных условий и начальных данных, после выполнения процедуры аппроксимации может быть сведено к задаче линейной алгебры.
При численном решении задачи конвекции (адвекции) - диффузии основное внимание уделяется вопросам аппроксимации конвективных слагаемых. В настоящее время в вычислительной практике широко используются схемы с направленными разностями, гибридные схемы, схемы с направленными разностями высокого порядка. Основной недостаток классических схем второго порядка аппроксимации с помощью центральных разностей связывается с нарушением устойчивости (Вабищевич, Самарский, 1998).
Свойства тех или иных разностных схем в настоящее время исследуются, в основном, экспериментально на основе численных расчетов по решению некоторых тестовых задач. Теоретическое исследование обычно проводится с помощью принципа максимума. Используются также методы на основе преобразования Фурье, метода Неймана. Однако, на этом пути удается рассмотреть разностные схемы лишь для простейших одномерных задач конвекции - диффузии с постоянными коэффициентами.
Дополнительная информация:
© 2001-2024 Кафедра биофизики МГУ