зачастую оказывается единственной характеристикой решения задачи.Устойчивость схемы является ее важнейшим практическим свойством. Существуют согласованные схемы высокого порядка точности, которые, тем не менее, дают решения, отличия которых от точного возрастают недопустимо быстро. Таким образом, условия устойчивости, если они существуют, должны быть явным образом найдены. Имеются три метода, которые используются для исследования устойчивости схем (Годунов, Рябенький, 1977; Мезингер, Аракава, 1979; Роуч, 1980; Самарский, 1983;Самарский, Гулин, 1973; Федоренко, 1994): прямой метод, метод Неймана и энергетический метод.
Прямой метод по своей сути очень прост. Поскольку известно, что точное решение ограничено, то достаточно проверить ограниченность и численного решения. К сожалению, этот метод применим только для довольно небольшого числа схем.
Метод Неймана, или метод разложения в ряды Фурье, применяется при анализе вычислительной устойчивости конечно-разностных схем для линейных дифференциальных уравнений. Его обычно нельзя использовать для проверки устойчивости нелинейных уравнений, поэтому приходится прибегать к анализу их линеаризованных вариантов. Этим методом предусматривается подстановка точных решений в конечно-разностную схему, а анализ устойчивости сводится к оценке множителя перехода, связывающего амплитуды возмущений на соседних уровнях по времени. Точные решения линейных уравнений выражаются суммой частных решений, представляемых волновыми гармониками. Это позволяет анализировать устойчивость для каждой волновой гармоники. При этом устойчивость конечно-разностной схемы для каждой гармоники означает устойчивость конечно-разностной схемы в целом. Анализ устойчивости по Нейману до сих пор играет исключительно важную роль в приложениях. Однако следует иметь в виду, что устойчивость по Нейману основана на анализе спектра оператора задачи. Это означает, что при таком подходе вычисление максимального собственного числа задачи или его оценка сверху является необходимым элементом вычислительного алгоритма (Годунов, Рябенький, 1977; Марчук, 1988). Кроме того, спектральный критерий устанавливает устойчивость решения по отношению к каждой гармонике ряда Фурье, но по нему трудно сделать вывод об устойчивости решения в энергетической норме. Между тем именно норма решения зачастую оказывается единственной характеристикой решения задачи.
Все это явилось причиной поиска других определений устойчивости, связанных с нормами оператора задачи. Для широкого класса разностных схем развита общая теория устойчивости операторно-разностных схем, которые рассматриваются в соответствующих конечномерных гильбертовых пространствах (Самарский, 1983; Самарский, Гулин, 1973). Получены неулучшаемые условия (то есть совпадающие необходимые и достаточные условия) устойчивости широкого класса двух- и трехслойных разностных схем. Конструктивность этой теории обусловлена тем, что условия устойчивости формулируются в виде легко проверяемых операторных неравенств.
Рассмотрим, например, систему
в 
, (47.1)
при t = 0, (47.2)
которая аппроксимируется явной двухслойной разностной задачей
на 
, (48.1)
. (48.2)
Решение 
ищется для 
. Обозначим через 
пространство, которому принадлежит 
в (48.2) и введем в нем норму 
. Будем говорить, что разностная схема (48.1) - (48.2) устойчива, если при любом параметре h, характеризующем разностную аппроксимацию, и 
имеет место соотношение
, (49)
где константы 
и 
равномерно ограничены на временном отрезке 
и не зависят от 
, h, 
и f. Обратим внимание на то, что определение устойчивости тесно связано с понятием корректности задач с непрерывным аргументом. Можно сказать, что устойчивость устанавливает непрерывную зависимость решения от входных данных в случае задач с дискретным аргументом. Таким образом, определение устойчивости в смысле выполнения (49) уже связывает само решение с априорными сведениями о входных данных задачи. Для анализа устойчивости многих задач такое определение не только более удобно, чем определение устойчивости по Нейману, но и более информативно.
Если аппроксимация эволюционного уравнения исследуется в пространстве сеточных функций, определенных на 
, то и определение устойчивости полезно давать в терминах тех же пространств. Так, если разностная задача имеет вид (34.1) - (34.2), то критерий устойчивости следует записать в форме следующего неравенства:
, (50)
где 
и 
(на отрезке 
) - константы, не зависящие от h, 
, 
, 
.
Проблема конструирования устойчивого алгоритма обычно сводится к установлению связи между шагами по времени и по пространству, обеспечивающей устойчивость вычислительной схемы. Если такая разностная схема оказывается устойчивой при любых значениях 
, то она называется абсолютно устойчивой. Если же схема оказывается устойчивой только при определенной связи между 
и h, то она называется условно устойчивой. Предположим, что связь между параметрами 
и h задается в виде неравенства
, (51)
где 
и р - заданные константы, не зависящие от 
и h. Допустим, что требуется повысить точность решения задачи формальным уменьшением шага сетки h. Тогда одновременно мы должны уменьшить и 
так, чтобы снова выполнялось неравенство (51). Это означает, что можно осуществить и предельный переход при 
, 
, обеспечив выполнение условия (51), например, в виде 
.
Дополнительная информация:
© 2001-2024 Кафедра биофизики МГУ