Общие принципы, лежащие в основе построения аддитивных схем
При приближенном решении начально-краевых задач для многомерных уравнений с частными производными большое внимание уделяется построению аддитивных схем (схем расщепления) (Аргучинцев, Аргучинцева, 2000; Белов и др., 1989; Белолипецкий и др., 1994; Белоцерковский, 1994; Воеводин и др., 1995; Дмитриев и др., 1989; Марчук, 1974; Марчук, 1982; Марчук, 1988; Марчук и др., 1987; Марчук, Саркисян, 1988; Моделирование процессов переноса и трансформации вещества в море, 1979; Пененко, 1981; Савчук и др., 1982;Самарский, 1983; Самарский, Вабищевич, 1999; Самарский, Вабищевич, 1999; Самарский, Гулин, 1989; Сергеев и др., 1989; Яненко, 1967; The coupled 3D hydrodynamic and ecosystem model FINEST, 1988; Yang et al., 1998). Способы практической реализации во многом определяют качество численного моделирования. Следует иметь в виду, что далеко не безразлично, за счет каких средств достигается конечный результат моделирования. Поэтому естественно требовать от алгоритмов не только устойчивости и экономичности, но и простоты реализации. С этой точки зрения метод расщепления можно рассматривать как элемент общей методологии математического моделирования и модульного принципа построения программ.
Методы покомпонентного расщепления (методы дробных шагов) имеют фундаментальное значение при построении математических моделей сложных процессов. Они дают возможность построить устойчивые, экономичные и достаточно простые в реализации численные схемы, эквивалентные по точности двухслойным схемам. Эта возможность вытекает из самой сути данного метода, основная идея которого состоит в том, чтобы провести расщепление сложных операторов на простейшие, в результате чего вместо интегрирования исходного уравнения проводится последовательное интегрирование уравнений гораздо более простой структуры. Переход к цепочке простых задач позволяет построить экономичные разностные схемы с расщеплением по пространственным переменным и свести, таким образом, решение многомерной задачи к последовательному решению задач меньшей размерности. В ряде случаев полезно отделить подзадачи различной природы и/или учесть характерные пространственно-временные масштабы исследуемых процессов. Это дает возможность провести дополнительное расщепление по физическим процессам.
Особый класс задач представляют так называемые “жесткие” системы уравнений (Ahmad, Berzins, 1997; Ascher et al., 1997; Calvo et al., 2001; Gerisch, Verwer, 2002; Hundsdorfer, 2002; Hundsdorfer, Verwer, 1995; Knoth, Wolke, 1995; Lang, 1995; Van der Houwen et al., 1997; Verwer et al., 1998; Verwer, Simpson, 1995). Определение таких систем связано с понятием постоянной времени дифференциального уравнения, которое вводится применительно к аналитическому решению. В частности, для уравнения первого порядка - это промежуток времени, когда изменяющаяся часть решения убывает в 
раз. Уравнение порядка n имеет n постоянных времени. Если любые две из них сильно (на практике в сто раз и более) отличаются по величине или какая-либо из них достаточно мала по сравнению с интервалом времени, на котором отыскивается решение, то в таком случае задача называется “жесткой” и ее практически невозможно решить обычными методами. Коэффициенты в таких уравнениях отличаются друг от друга на несколько порядков. При решении “жестких” задач обычными методами шаг по времени должен быть достаточно мал для того, чтобы можно было учитывать приращение наиболее быстро изменяющихся составляющих решения даже после того, как их вклад станет практически незаметным. Но уменьшение шага приводит к увеличению затрат времени счета и, что самое неприятное, накоплению ошибок. Причем даже на гладком участке решения увеличение шага приводит к нарастанию погрешностей округления и дискретизации (Форсайт и др., 1980).
В последнее время активно обсуждаются регионально-аддитивные схемы (схемы декомпозиции области), которые ориентированы на построение эффективных вычислительных алгоритмов для современных вычислительных систем с параллельной архитектурой (Самарский, Вабищевич, 1999; Самарский, Вабищевич, 1999). Основной подход связан с декомпозицией (разделением) расчетной области на ряд подобластей. Исходная дифференциальная задача разбивается на ряд подзадач, каждая из которых решается в своей подобласти на своем процессоре. В связи с этим усиливается интерес к явным численным схемам и к прямым, не требующим итераций, алгоритмам.Переход на новый временной слой связан с решением набора отдельных подзадач в подобластях при задании тех или иных граничных условий с предыдущего временного слоя. На границах подобластей задаются различные обменные граничные условия, которые порождаются выбором того или иного оператора декомпозиции области.
При многокомпонентном расщеплении (на три и более операторов) безусловно устойчивые аддитивные схемы строятся с учетом априорных сведений о свойствах операторов задач, а также с привлечением понятия суммарной аппроксимации (Самарский, 1983; Самарский, Вабищевич, 1999; Самарский, Гулин, 1989) - на основе перехода к цепочке отдельных начальных задач для каждого операторного слагаемого. Это дает возможность гибкого построения схем для широкого класса уравнений математической физики. В ряде случаев аддитивные схемы строятся и без привлечения понятия суммарной аппроксимации. Редукция сложных задач к более простым обычно возможна в тех случаях, когда исходный положительно полуопределенный оператор задачи представим в виде суммы положительно полуопределенных простейших операторов. Теория методов расщепления особенно полно разработана в случае, когда исходный оператор задачи представим в виде суммы двух более простых.
Дополнительная информация:
© 2001-2024 Кафедра биофизики МГУ