Динамические модели в биологии

Реестр моделей

Модели в экологии

Модели водных экосистем

Математический аппарат моделирования водных экосистем
Метод расщепления, основанный на неявных схемах первого порядка точности

В данном разделе для определенности считаем, что , поэтому для норм этих вещественных гильбертовых пространств справедливы следующие равенства: . Рассмотрим сначала однородную задачу

 

 в ,                                                        (1.1)

 

при t = 0,                                                               (1.2)

 

где . Пусть операторы  не зависят от времени. Алгоритм расщепления, основанный на использовании неявных схем первого порядка точности по времени, имеет следующий вид:

 

                                                     (2)

 

Покажем, что такой алгоритм является абсолютно устойчивым. Умножим уравнение  скалярно на . Получим соотношение . Из положительной полуопределенности оператора  вытекает, что , или . Но , поэтому . С помощью этого рекуррентного неравенства получаем . Это и означает, что при сделанных предположениях расчет по схеме расщепления (2) будет абсолютно устойчивым. Нетрудно убедиться, что на гладких решениях система (2) аппроксимирует исходную задачу (1.1) - (1.2) с первым порядком аппроксимации по времени.

Рассмотрим теперь неоднородную задачу

 

 в ,,                                                       (3.1)

 

при t = 0.                                                              (3.2)

 

Для нее схема расщепления имеет следующий вид

 

                                                   (4)

 

Она абсолютно устойчива и обладает первым порядком точности по , причем справедлива оценка

 

.                                                        (5)

 

Докажем последнее соотношение. Для этого умножим скалярно каждое из уравнений (4) соответственно на , ... , . Тогда, аналогично предыдущему, получим  Последнее уравнение, полученное из (4), рассмотрим более подробно. Имеем . Учитывая положительную полуопределенность оператора , получим, что . В силу неравенств ,  имеем . Сокращая на , приходим к неравенству . Исключая решение с дробными индексами, получаем . Учитывая, что  и исключая промежуточные значения решения, получаем оценку (5), из которой заключаем об абсолютной устойчивости схемы.

Реализация алгоритмов (2), (4) состоит в последовательном решении соответствующих уравнений. Если расщепление исходного оператора А на сумму более простых операторов  проведено так, что обращение операторов осуществить просто (как, например, в случае трехдиагональных или треугольных матриц), то легко найти и  - приближенное решение задачи, соответствующее . Алгоритмы (2) и (4) допускают очевидные обобщения, если оператор А зависит от времени. В этом случае в цикле вычислений по схеме расщепления вместо А следует задавать подходящую разностную аппроксимацию  этого оператора на каждом временном интервале .

Для повышения точности схем (2), (4) можно применять схемы с весами (Яненко, 1967):

 

                                   (6)

 

                                  (7)

 

Здесь  - вещественный параметр, причем . При  схемы обладают вторым порядком точности по времени, а ее общий порядок точности есть .

 

Дополнительная информация:

 

В начало

© 2001-2024 Кафедра биофизики МГУ