В данном разделе для определенности считаем, что , поэтому для норм этих вещественных гильбертовых пространств справедливы следующие равенства: . Рассмотрим сначала однородную задачу
в , (1.1)
при t = 0, (1.2)
где . Пусть операторы не зависят от времени. Алгоритм расщепления, основанный на использовании неявных схем первого порядка точности по времени, имеет следующий вид:
(2)
Покажем, что такой алгоритм является абсолютно устойчивым. Умножим уравнение скалярно на . Получим соотношение . Из положительной полуопределенности оператора вытекает, что , или . Но , поэтому . С помощью этого рекуррентного неравенства получаем . Это и означает, что при сделанных предположениях расчет по схеме расщепления (2) будет абсолютно устойчивым. Нетрудно убедиться, что на гладких решениях система (2) аппроксимирует исходную задачу (1.1) - (1.2) с первым порядком аппроксимации по времени.
Рассмотрим теперь неоднородную задачу
в ,, (3.1)
при t = 0. (3.2)
Для нее схема расщепления имеет следующий вид
(4)
Она абсолютно устойчива и обладает первым порядком точности по , причем справедлива оценка
. (5)
Докажем последнее соотношение. Для этого умножим скалярно каждое из уравнений (4) соответственно на , ... , . Тогда, аналогично предыдущему, получим Последнее уравнение, полученное из (4), рассмотрим более подробно. Имеем . Учитывая положительную полуопределенность оператора , получим, что . В силу неравенств , имеем . Сокращая на , приходим к неравенству . Исключая решение с дробными индексами, получаем . Учитывая, что и исключая промежуточные значения решения, получаем оценку (5), из которой заключаем об абсолютной устойчивости схемы.
Реализация алгоритмов (2), (4) состоит в последовательном решении соответствующих уравнений. Если расщепление исходного оператора А на сумму более простых операторов проведено так, что обращение операторов осуществить просто (как, например, в случае трехдиагональных или треугольных матриц), то легко найти и - приближенное решение задачи, соответствующее . Алгоритмы (2) и (4) допускают очевидные обобщения, если оператор А зависит от времени. В этом случае в цикле вычислений по схеме расщепления вместо А следует задавать подходящую разностную аппроксимацию этого оператора на каждом временном интервале .
Для повышения точности схем (2), (4) можно применять схемы с весами (Яненко, 1967):
(6)
(7)
Здесь - вещественный параметр, причем . При схемы обладают вторым порядком точности по времени, а ее общий порядок точности есть .
Дополнительная информация:
© 2001-2024 Кафедра биофизики МГУ