Рассмотрим теперь еще один класс методов расщепления - методы двуциклического покомпонентного расщепления (Марчук, 1982; Марчук, 1988). В них отсутствует требование коммутативности операторов в представлении . Начнем с рассмотрения однородной задачи (1.1) - (1.2), в которой оператор А зависит от времени и его можно представить в виде суммы положительно полуопределенных матриц: , , , имеющих достаточно гладкие по t элементы. Рассмотрим аппроксимации этих матриц не на интервале , как в (17), а на интервале . Положим и запишем две системы разностных уравнений
(31.1)
(31.2)
Цикл вычислений состоит в поочередном применении схем (31.1), (31.2). Из данных схем, последовательно исключая , , , получаем, что на полном шаге вычислений имеет место операторное уравнение
, (32)
где оператор шага имеет следующий вид:
(33)
Здесь и далее предполагается выполнение ограничения (20): . Если , то при достаточной гладкости решения задачи и элементов матриц система разностных уравнений (31.1) - (31.2) абсолютно устойчива и схема (32) аппроксимирует исходную задачу со вторым порядком точности по . В самом деле, из разложения оператора шага заключаем, что он с точностью до величины совпадает с оператором шага схемы Кранка - Николсона, примененной к удвоенному интервалу по времени. Следовательно, независимо от коммутативности операторов , схема имеет второй порядок аппроксимации по . Таким образом, этот прием снимает весьма сильное требование коммутативности операторов. Устойчивость схемы следует из оценок в норме :
, (34)
поскольку в силу леммы Келлога .
Рассмотрим теперь неоднородную задачу (3.1) - (3.2). Для нее схема двуциклического покомпонентного расщепления имеет следующий вид
(35.1)
(35.2)
где . Разрешая эти уравнения относительно , получаем
, (36)
где , . С помощью разложения по степеням малого параметра придем к соотношению
, (37)
которое, в свою очередь, преобразуем к виду
. (38)
Исключим , используя разложение решения в ряд Тейлора в окрестности точки . С точностью до имеем
. (39)
Производную исключим с помощью соотношения
. (40)
Из (39), (40) получаем:
. (41)
Отсюда
. (42)
Подставим соотношение (42) в (38):
. (43)
Если теперь принять, что , , то легко заметить, что уравнение (43) аппроксимирует исходную задачу в норме на интервале со вторым порядком по . Устойчивость схемы доказывается просто. Оценим (36) по норме
. (44)
Выше было показано, что . Следовательно, . Поэтому
. (45)
С помощью этого рекуррентного соотношения окончательно получаем, что
, (46)
где . Из соотношения (46) следует счетная устойчивость схемы на любом конечном временном интервале.
Дополнительная информация:
© 2001-2024 Кафедра биофизики МГУ