Динамические модели в биологии

Реестр моделей

Модели в экологии

Модели водных экосистем

Математический аппарат моделирования водных экосистем
Метод двуциклического покомпонентного расщепления. Случай оператора

Рассмотрим теперь еще один класс методов расщепления - методы двуциклического покомпонентного расщепления (Марчук, 1982; Марчук, 1988). В них отсутствует требование коммутативности операторов  в представлении . Начнем с рассмотрения однородной задачи (1.1) - (1.2), в которой оператор А зависит от времени и его можно представить в виде суммы положительно полуопределенных матриц: , , , имеющих достаточно гладкие по t элементы. Рассмотрим аппроксимации этих матриц не на интервале , как в (17), а на интервале . Положим  и запишем две системы разностных уравнений

 

                                            (31.1)

 

                                            (31.2)

 

Цикл вычислений состоит в поочередном применении схем (31.1), (31.2). Из данных схем, последовательно исключая , , , получаем, что на полном шаге вычислений имеет место операторное уравнение

 

,                                                                 (32)

 

где оператор шага  имеет следующий вид:

 

                            (33)

 

Здесь и далее предполагается выполнение ограничения (20): . Если , то при достаточной гладкости решения  задачи и элементов матриц  система разностных уравнений (31.1) - (31.2) абсолютно устойчива и схема (32) аппроксимирует исходную задачу со вторым порядком точности по . В самом деле, из разложения оператора шага  заключаем, что он с точностью до величины  совпадает с оператором шага схемы Кранка - Николсона, примененной к удвоенному интервалу по времени. Следовательно, независимо от коммутативности операторов , схема имеет второй порядок аппроксимации по . Таким образом, этот прием снимает весьма сильное требование коммутативности операторов. Устойчивость схемы следует из оценок в норме :

 

,                                           (34)

 

поскольку в силу леммы Келлога .

            Рассмотрим теперь неоднородную задачу (3.1) - (3.2). Для нее схема двуциклического покомпонентного расщепления имеет следующий вид

 

                                     (35.1)

 

                                    (35.2)

 

где . Разрешая эти уравнения относительно , получаем

 

,                                                      (36)

 

где , . С помощью разложения по степеням малого параметра  придем к соотношению

 

,                          (37)

 

которое, в свою очередь, преобразуем к виду

 

.                                 (38)

 

Исключим , используя разложение решения в ряд Тейлора в окрестности точки . С точностью до  имеем

 

.                                                   (39)

 

Производную  исключим с помощью соотношения

 

.                                                   (40)

 

Из (39), (40) получаем:

 

.                                                 (41)

 

Отсюда

 

.                                                (42)

 

Подставим соотношение (42) в (38):

 

.                                                 (43)

 

Если теперь принять, что , , то легко заметить, что уравнение (43) аппроксимирует исходную задачу в норме  на интервале  со вторым порядком по . Устойчивость схемы доказывается просто. Оценим (36) по норме

 

.                                            (44)

 

Выше было показано, что . Следовательно, . Поэтому

 

.                                                         (45)

 

С помощью этого рекуррентного соотношения окончательно получаем, что

 

,                                                           (46)

 

где . Из соотношения (46) следует счетная устойчивость схемы на любом конечном временном интервале.

 

Дополнительная информация:

 

В начало

© 2001-2024 Кафедра биофизики МГУ