Динамические модели в биологии

Микробиологические популяции являются хорошим экспериментальным объектом для проверки идей и результатов как экологических, так и эволюционных теорий. В большинстве своем микроорганизмы - одноклеточные организмы, они имеют высокое отношение поверхности к объему и поэтому высокие интенсивности обмена с окружающей средой, высокие скорости размножения, большой прирост биомассы. Для математического описания микробных популяций обычно используют аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений. В отношении микробиологических систем такое описание гораздо более обосновано, чем применительно к наземным и водным высшим организмам. В лабораторных исследованиях, in vitro работают с количеством особей порядка 10¹⁰ и выше. В большом промышленном ферментере могут одновременно жить

10¹⁶ 
- 10¹⁷

дрожжевых клеток. Отклонение численности от средних значений, вызванное случайными обстоятельствами, пропорционально 1/N^1/2, где N - численность популяции. Таким образом, для многочисленных популяций можно строить модель в терминах средних численностей, или концентраций. Второй фактор - относительная однородность культуры микроорганизмов в объеме культиватора. Это позволяет пренебречь пространственными эффектами.

В микробиологии общепринят эмпирический подход к построению моделей. Из всех факторов, влияющих на рост клетки, выбирают лимитирующий, и опытным путем находят зависимость скорости роста от его концентрации. В общем виде кинетика концентрации клеток в непрерывной культуре описывается уравнением:

dx / dt = x(m - n) (13)

Здесь x – концентрация клеток в культиваторе; m - функция, описывающая размножение популяции. Она может зависеть от концентрации клеток x, концентрации субстрата (обычно обозначается S), температуры, рН среды и прочих факторов; n - скорость вымывания.

Для поддержания культуры в области нелимитированного роста требуются внешние регуляторы. В случае лимитирования роста внешним фактором, например, недостатком субстрата, стационарный режим работы культиватора устанавливается путем саморегуляции. Это имеет место в природных проточных системах и в наиболее распространенном типе непрерывных культиваторов - хемостате, где задается скорость разбавления культуры, или скорость протока. Теория хемостата - впервые была разработана Моно (1950) и Гербертом (1956) и с той поры постоянно совершенствуется. В современных моделях учитывается структурная неоднородность биомассы, возрастная неоднородность культуры и другие детали культивирования.

При непрерывном перемешивании можно считать весь объем культиватора однородно заполненным, концентрации субстрата и клеток в каждой точке культиватора одинаковыми, и описывать поведение этих концентраций во времени с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

(14)

Здесь S - концентрация субстрата; x - концентрация клеток в культиваторе; S₀ -концентрация субстрата, поступившего в культиватор; D - скорость протока (разбавления) культуры; a^-1 - «экономический коэффициент», показывающий, какая часть поглощенного субстрата идет на приращение биомассы. Смысл членов, входящих в правые части уравнений : m(S)x - прирост биомассы за счет поглощения субстрата; -Dx - отток биомассы из культиватора; -am(S)x - количество субстрата, поглощенного клетками культуры; DS₀ - приток субстрата в культиватор; -DS - отток неиспользованного субстрата из культиватора. Скорость роста биомассы предполагается зависящей только от концентрации субстрата в соответствии с формулой Моно (5).

Рассмотренная модель является упрощенной и для описания реальных процессов требует дополнений. Например, при больших концентрациях субстрат может оказывать ингибирующее действие, и тогда формулу для скорости роста следует записывать в виде:

(15)

В системе , где существует такая зависимость скорости роста от субстрата,

возможны триггерные 
режимы - наличие двух устойчивых стационарных 
состояний и зависимость стационарных значений концентраций субстрата и 
биомассы от начальных условий

(от величины затравки и начальной концентрации биомассы).

На скорость роста биомассы может оказывать влияние концентрация продуктов метаболизма в среде, окружающей клетку. Тогда к двум уравнениям, описывающим динамику концентрации биомассы и субстрата в непрерывном процессе культивирования следует добавить третье уравнение, выражающее динамику концентрации продуктов метаболизма

(16)

В биотехнологии для расчета оптимальных режимов культивирования применяются формулы, принимающие в расчет и другие особенности как метаболизма самих микроорганизмов, так и условий их выращивания.

Динамические модели в биологии

Реестр моделей

Базовые модели математической биофизики

Модель проточной культуры микроорганизмов